10.ª Sesión - Terminamos del estudio de las figuras planas

Nos hemos despachado ya el tema 7. Lo hemos completado hasta el final, aunque algunas actividades propuestas las hemos de investigar por nuestra cuenta por limitaciones de tiempo. Hemos demostrado en clase que la suma de los ángulos interiores y exteriores son la semisuma o semiresta del arco que comprenden en la circunferencia. También hemos continuado calculando áreas de figuras utilizando la fórmula de Herón (con ayuda del semiperímetro).

Recordamos la fórmula para calcular el área de un polígono regular (perímetro por apotema dividido por 2) de donde se deduce el área del círculo a partir del límite cuando el lado tiende a cero y la apotema tiende a igualar al radio, 2 pi x radio x apotema /2 = pi radio al cuadrado.

9.ª Sesión: Cuadriláteros y circunferencias

Comenzamos esta clase recordando los cuadriláteros.

Los clasificamos en paralelogramos (lados paralelos dos a dos), trapecios (dos lados paralelos) y trapezoides (el resto). En los apuntes viene la clasificación más en profundidad.

Paco nos propuso hacer el apartado 3.2 por nuestra cuenta para asegurarnos que se cumplen las propiedades de las diagonales de paralelogramos.

A continuación procedimos con el estudio de la circunferencia. Dibujamos sus elementos en la pizarra y hablamos de la historia del número PI y estrategias para demostrarlo en el aula.

Llegamos hasta la mitad de la página 34. Hay que compromar similitudes entre los ángulos tangentes inscritos y semiinscritos a la circunferencia, como por ejemplo, los de la citada página.

8.ª Sesión - Triángulos

Hoy hemos repasado algo más los frisos y a continuación hemos estudiado los triángulos. Básicamente ha sido un repaso de lo que ya sabíamos, su clasificación, requisitos para su construcción, congruencia...

Para la gente que no haya estudiado dibujo técnico es probable que los puntos notables del triángulo supusieran alguna novedad, aunque no reviste mucha dificultad, es algo memorístico:

• Mediatrices - Circuncentro
• Medianas - Baricentro
• Alturas - Ortocentro

Estos tres puntos conforman la recta de Euler. Una característica del baricentro es que divide a cada mediana en dos segmentos con valores de 1/3 y 2/3 de la misma. Otro punto interesante puede ser el incentro, que se obtiene a partir de las tres bisectrices de un triángulo.

7.ª Sesión - Teselas, imágenes imposibles y frisos

Hoy en clase hemos continuado con el tema séptimo, a partir del punto 1.5.3, los mosaicos de Escher, polígonos nazaríes, la pajarita, el pétalo... Parten de polígonos que mantienen su área a pesar de modificar la forma de su superficie.

De seguido hemos visto una serie de imágenes imposibles:

A continuación iniciamos el estudio de los frisos, Paco nos fue mostrando uno a uno los siete posibles frisos que existen y después hicimos actividades prácticas con ayuda del proyector para trabajarlos en gran grupo. Es fácil reconocer el motivo fundamental y la figura generadora si se practica un poquito, hay que imaginarse los giros y las simetrías que acontecen, luego sólo hay que realizar traslación (aunque la traslación es en lo primero que hemos de fijarnos para reconocer si existe friso).


Ojo con decir que hay simetría horizontal y vertical a la vez, hay que seguir un orden y preguntarnos primero si hay traslación, segundo si existe giro, después si hay simetría horizontal, en caso de no haberla la buscaremos sobre el eje vertical (simetría axial ortogonal). Si no encontramos afirmativa ninguna de las preguntas anteriores (OJO, la traslación sí debe existir), entonces es probable que nos encontraremos ante un caso de simetría por deslizamiento, o un caso en el que el motivo fundamental coincide con la figura generadora.

Aunque la nomenclatura puede parecer liosa, no os agobiéis, la F se refiere al objeto Friso, los subíndices nos indican si existe giro, "F sub...:

1. No hay giro
2. Hay giro

Los superíndices nos remiten al tipo de simetría que aparece, "F super...:

1. Simetría horizontal
2. Simetría vertical
3. Simetría por deslizamiento

6.ª Sesión - Estudio de figuras planas

Hoy en clase recordamos lo que es la apotema.

• Es el segmento que va desde el punto medio al centro de un lado.
• Los polígonos cruzados son aquellos que se cruzan al menos en un punto.
• Polígonos cóncavos 1 (no lo puedo cortar en mas de dos puntos al trazar una recta) y 2 convexos (lo puedo cortar en mas de dos puntos al cortarlo con una recta).
• Fórmula para hallar las diagonales de un polígono regular de ángulos cóncavos
• Formula para saber cual es la suma de los ángulos interiores de polígonos regulares
• Calculamos cuanto miden todos los ángulos con la fórmula (n-2) · 180 y lo dividimos por el numero de lados

5.ª Sesión - Estudio de figuras planas

El miercoles 3 de abril en la clase de matemáticas comenzamos el tema séptimo: "Estudio de figuras planas".
Se comenzó hablando de los poligonos y su clasificación. Es importante tener en cuenta que existe poligonos cruzados (cuando uno o más lados se cortan) que son regulares como es el caso de poligonos estrellados (la estrella de David o la estrella Pitagórica).

Se hicieron dos "demostraciones", nuemero de diagonales de un poligono convexo y suma de los ángulos interiores y exteriores de un poligono convexo. Ambas demostraciones se hicieron de manera sistemática con una tabla (la tabla de la segunda demostración está en la página seis).

Por lo tanto en esta sesión de matemáticas se comenzó el tema y se llegó hasta el punto 1.3 inclusive (página 7).

4.ª Sesión - Paralelismo, perpendicularidad, sistemas de referencia y gráficas

Hoy hemos terminado todo el tema 6. Varias compañeras de clase han salido a la pizarra a hacer prácticas con las nuevas tecnologías (tiza atada a una cuerda) para calcular y dibujar bisectrices, mediatrices, paralelas y perpendiculares. Ha sido muy interesante la última parte, la de interpetar gráficas, cualquier aspecto de la vida real puede plasmarse en una gráfica, además de las que aparecen en los apuntes dibujamos otras nuevas en la pizarra.

Para ampliar: Un ejemplo similar al que tenemos al final del tema puede ser la telemetría en Fórmula 1 (medición a distancia). La telemetría es un elemento básico de puesta a punto de los coches, ya que permite conocer en tiempo real una gran cantidad de información a los ingenieros y ténicos que trabajan en boxes en la mejora del rendimiento del vehículo. En un deporte donde se lucha por ir una décima de segundo más rápido, la puesta a punto es vital.

Hoy en día cualquier videojuego de simulación de Fórmula 1 te permite manejar cerca de 50 variables para la puesta a punto del coche (altura del chasis, altura de alerones, tipo de neumático, dureza de amortiguadores y muelles, barra anti-vuelco, diferencial, ratio de transmisión, apertura de pontones para la refrigeración del motor...) por lo que es fundamental saber utilizar una telemetría si queremos ganar en el nivel más difícil. La telemetría nos devuelve datos muy diversos (velocidad instantánea, cantidad de pedal pisado (acelerador o freno), fuerzas G, régimen del motor o RPM, ángulo de giro del volante, temperatura de cada uno de los elementos de desgaste del vehículo...), y si queremos introducir mejoras, es preciso saber interpretar y analizar gráficas.

A continuación os pongo un ejemplo de telemetría, es de un juego bastante simple que únicamente nos devuelve los datos Velocidad y RPM. El jugador ha elegido las vueltas primera y cuarta para compararlas entre sí, puede que haya utilizado reglajes distintos en las dos y quiera conocer qué efectos han tenido en su rendimiento o puede que quiera saber qué está haciendo mal para no superar el tiempo de la más rápida. Normalmente el mismo tipo de dato suele mostrarse superpuesto, para poder apreciar mejor las diferencias y saber dónde se puede mejorar. Por ejemplo, mirando la velocidad podemos estudiar si se ha frenado demasiado pronto, si se ha acelerado demasiado tarde o si se puede tomar más rápida una determinada curva. En las RPM podemos ver si estamos exprimiendo el motor al máximo, tenemos que jugar con la ratio de marchas para estar siempre lo más próximos (o por encima) del par motor (régimen de giro óptimo).

Leyenda:

En naranja tenemos la velocidad de la vuelta 4, en azul oscuro la de la vuelta 1.
En rojo tenemos las RPM de la vuelta 4, en azul claro la de la vuelta 1.
El circuito es el de Monza (Italia), el más rápido del calendario de la F-1. En el mapa de la izquierda podemos observar que se circula en el sentido de las agujas del reloj y que hay seis grandes frenadas en todo el circuito. La curva 2 es muy abierta y no es preciso frenar para tomarla.

Pregunta: ¿cómo se define una curva?