12.ª Sesión - Transformaciones isométricas en el plano

Continuamos con el tema 8. Ya dijimos que una traslación es una transformación isométrica en el plano a través de un vector libre, hoy estudiamos que un giro es una transformación geométrica con dos características: congruencia de los segmentos formados en el giro: |OA|=|OA'| , un ángulo |AOA'| entre ambos segmentos y el origen del giro, (donde O es el origen, A es el punto inicial y A' es el punto después de efectuar el giro).

Recordad que cuando hablamos del ángulo determinado por dos rectas, nos estamos refiriendo a la región angular que se encuentra partiendo de la primera recta (arbitrario) a la segunda en sentido positivo (antihorario).

Demostramos que en el producto de giros no se cumple la propiedad conmutativa. Cuando hablamos de producto de giros, tenemos que prestar bastante atención a la manera de expresarlo:

Ga [G'a'(A)] (a=alpha, este blog no permite añadir letras griegas)
A -> (G) -> A' -> (G') -> A" = G'a · Ga (nótese la inversión de términos, tenemos un punto A, aplicamos un giro G y obtenemos un punto A', aplicamos un giro G' sobre A' y obtenemos A", a la hora de expresarlo hemos de representar G' sobre G, el segundo sobre el primero).

Continuamos con la simetría central y el centro de simetría de figuras planas.

11.ª Sesión, transformaciones isométricas en el plano

Hemos comenzado tema nuevo: Transfomaciones Isometricas en el Plano, Tema 8.

Hay dos cosas a tener en cuenta, la primera que para sumar vectores, hay que poner los vectores uno a continuación del otro y la suma es el vector que se forma en el principio y termina en el final. En figura de abajo se muestran en negro los vectores que queremos sumar colocados uno a continuación del otro y en rojo el vector suma.

El segundo punto a tener en cuenta es el calculo de un homologo.

Dado un punto A(3,4) con una traslación de V= (2,5) ¿Calcula su homólogo A’(x’,y’)?

Por lo que su punto homologo es: A’ (5,9).

10.ª Sesión - Terminamos del estudio de las figuras planas

Nos hemos despachado ya el tema 7. Lo hemos completado hasta el final, aunque algunas actividades propuestas las hemos de investigar por nuestra cuenta por limitaciones de tiempo. Hemos demostrado en clase que la suma de los ángulos interiores y exteriores son la semisuma o semiresta del arco que comprenden en la circunferencia. También hemos continuado calculando áreas de figuras utilizando la fórmula de Herón (con ayuda del semiperímetro).

Recordamos la fórmula para calcular el área de un polígono regular (perímetro por apotema dividido por 2) de donde se deduce el área del círculo a partir del límite cuando el lado tiende a cero y la apotema tiende a igualar al radio, 2 pi x radio x apotema /2 = pi radio al cuadrado.

9.ª Sesión: Cuadriláteros y circunferencias

Comenzamos esta clase recordando los cuadriláteros.

Los clasificamos en paralelogramos (lados paralelos dos a dos), trapecios (dos lados paralelos) y trapezoides (el resto). En los apuntes viene la clasificación más en profundidad.

Paco nos propuso hacer el apartado 3.2 por nuestra cuenta para asegurarnos que se cumplen las propiedades de las diagonales de paralelogramos.

A continuación procedimos con el estudio de la circunferencia. Dibujamos sus elementos en la pizarra y hablamos de la historia del número PI y estrategias para demostrarlo en el aula.

Llegamos hasta la mitad de la página 34. Hay que compromar similitudes entre los ángulos tangentes inscritos y semiinscritos a la circunferencia, como por ejemplo, los de la citada página.

8.ª Sesión - Triángulos

Hoy hemos repasado algo más los frisos y a continuación hemos estudiado los triángulos. Básicamente ha sido un repaso de lo que ya sabíamos, su clasificación, requisitos para su construcción, congruencia...

Para la gente que no haya estudiado dibujo técnico es probable que los puntos notables del triángulo supusieran alguna novedad, aunque no reviste mucha dificultad, es algo memorístico:

• Mediatrices - Circuncentro
• Medianas - Baricentro
• Alturas - Ortocentro

Estos tres puntos conforman la recta de Euler. Una característica del baricentro es que divide a cada mediana en dos segmentos con valores de 1/3 y 2/3 de la misma. Otro punto interesante puede ser el incentro, que se obtiene a partir de las tres bisectrices de un triángulo.

7.ª Sesión - Teselas, imágenes imposibles y frisos

Hoy en clase hemos continuado con el tema séptimo, a partir del punto 1.5.3, los mosaicos de Escher, polígonos nazaríes, la pajarita, el pétalo... Parten de polígonos que mantienen su área a pesar de modificar la forma de su superficie.

De seguido hemos visto una serie de imágenes imposibles:

A continuación iniciamos el estudio de los frisos, Paco nos fue mostrando uno a uno los siete posibles frisos que existen y después hicimos actividades prácticas con ayuda del proyector para trabajarlos en gran grupo. Es fácil reconocer el motivo fundamental y la figura generadora si se practica un poquito, hay que imaginarse los giros y las simetrías que acontecen, luego sólo hay que realizar traslación (aunque la traslación es en lo primero que hemos de fijarnos para reconocer si existe friso).


Ojo con decir que hay simetría horizontal y vertical a la vez, hay que seguir un orden y preguntarnos primero si hay traslación, segundo si existe giro, después si hay simetría horizontal, en caso de no haberla la buscaremos sobre el eje vertical (simetría axial ortogonal). Si no encontramos afirmativa ninguna de las preguntas anteriores (OJO, la traslación sí debe existir), entonces es probable que nos encontraremos ante un caso de simetría por deslizamiento, o un caso en el que el motivo fundamental coincide con la figura generadora.

Aunque la nomenclatura puede parecer liosa, no os agobiéis, la F se refiere al objeto Friso, los subíndices nos indican si existe giro, "F sub...:

1. No hay giro
2. Hay giro

Los superíndices nos remiten al tipo de simetría que aparece, "F super...:

1. Simetría horizontal
2. Simetría vertical
3. Simetría por deslizamiento

6.ª Sesión - Estudio de figuras planas

Hoy en clase recordamos lo que es la apotema.

• Es el segmento que va desde el punto medio al centro de un lado.
• Los polígonos cruzados son aquellos que se cruzan al menos en un punto.
• Polígonos cóncavos 1 (no lo puedo cortar en mas de dos puntos al trazar una recta) y 2 convexos (lo puedo cortar en mas de dos puntos al cortarlo con una recta).
• Fórmula para hallar las diagonales de un polígono regular de ángulos cóncavos
• Formula para saber cual es la suma de los ángulos interiores de polígonos regulares
• Calculamos cuanto miden todos los ángulos con la fórmula (n-2) · 180 y lo dividimos por el numero de lados