14.ª Sesión - Producto de un giro por una traslación y su recíproca (Reversibilidad)

Buenas tardes: hoy empezamos la clase con una breve discusión sobre el proceso de Bolonia, ya que ese mismo día habían convocadas una protesta estudiantil contra ciertos aspectos del proceso. Después de unos minutos debatiendo pros y contras continuamos con la clase.

Terminamos el tema 8 con los productos de giros por traslaciones y viceversa. Si un giro es un producto de dos simetrías axiales y una traslación es otro producto de dos simetrías axiales (paralelas) es fácil, siguiendo metódicamente los pasos, descomponer el producto de un giro por una traslación (y viceversa) en el de 4 simetrías axiales:

G[T(v)] = (S1·S2) · (S3·S4)

Siendo en este ejemplo, Traslación por Giro, S1 y S2 los ejes de simetría no paralelos (giro) y S3 y S4 los paralelos (traslación).

Conociendo el vector de la traslación y el origen y ángulo del giro, podemos hacerlo. Para ello haremos que S2 y S3 coincidan, ya que nada nos lo impide. Dibujamos un eje que pase por el origen de giro, ese eje será S2 y S3 (rectas coincidentes). A partir de ese eje dibujamos una paralela en sentido contrario al vector "v" y a la distancia del módulo de dicho vector.

Tened en cuenta que lo estamos haciendo todo a la inversa (de traslación a producto de simetrías), el vector nos dice cómo ir de S4 a S3, si queremos ir de S3 a S4 el sentido del vector se invierte.

Por último, trazamos una nueva recta que pase por el origen de giro y que forme un ángulo con S2 la mitad del valor del ángulo de giro, esa recta será S1. Recordad cómo hay que "sumar" ángulos en sentido positivo (sentido antihorario), como vamos de S2 a S1 (de derecha a izquierda) no tenemos que invertir el sentido.

Si el ejemplo hubiera sido al contrario, Giro por Traslación, entonces el vector de la traslación se hubiera sumado en su sentido y el ángulo de giro en el opuesto, siguiendo los pasos se ve con mayor claridad.

Recordad que un giro es un producto de dos simetrías por la propiedad transitiva, OA=OA" ( a partir de OA').

13.ª Sesión - Simetría axial y producto de simetrías axiales

Hemos seguido con la simetría axial.

Toda simetría axial viene determinada por un eje de simetría e. Un punto y su homólogo son equidistantes del eje de simetría:

d(A,e) = d(A',e)

También se verifica que el segmento determinado por un punto y su homólogo es perpendicular al eje de simetría.

OJO: Recordamos que en el producto de simetrías axiales no se cumple la propiedad conmutativa, no es lo mismo G[G'(a)] que G'[G(a)].

DEMOSTRADO EN CLASE: Cuando ambos ejes de simetría son paralelos, una traslación puede convertirse en un producto de simetrías axiales, donde el vector es una recta perpendicular a ambos ejes, el módulo es el doble de la distancia entre ejes y el sentido es del primer al segundo eje.

DEMOSTRADO EN CLASE: Cuando los ejes de simetría son secantes lo que nos resulta es un giro, ya que se cumplen las exigencias de los giros.