16.ª Sesión - Organización de la información

Comenzamos el tema 9. organización de la información.

Seguimos el guión tal cual hasta el punto 7. se explicaron unos conceptos que, aunque parecían sonar en el inconsciente colectivo, necesitaban de una aclaración precisa. A saber: población estadística, muestra, parámetro, estadístico, etc.Con la lectura pausada del tema se entienden sin mayor dificultad.

Tomamos nota de una autocorrección del profesor a su temario: en el punto 5, características y modalidades, aparece altura como cualidad de un elemento de una población, cuando debería decir estatura.

Terminó la clase con la explicación de los intervalos y su representación en una tabla de frecuencias.

Por lo demás, haciendo gala de la actitud crítica que debe ungir la materia gris de un docente, la comisión advierte de la cautela con que debe analizarse cualquier cosa que se nos quiera presentar como estadística dogmática, desde cualquier estamento de poder organizado, interesado o mass media. Recordaremos que si un individuo se come un pollo (con doble l) y su vecino es vegetariano convencido moral o económicamente, la estadística dirá que esta población se ha comido medio ave por gaznate.

14.ª Sesión - Producto de un giro por una traslación y su recíproca (Reversibilidad)

Buenas tardes: hoy empezamos la clase con una breve discusión sobre el proceso de Bolonia, ya que ese mismo día habían convocadas una protesta estudiantil contra ciertos aspectos del proceso. Después de unos minutos debatiendo pros y contras continuamos con la clase.

Terminamos el tema 8 con los productos de giros por traslaciones y viceversa. Si un giro es un producto de dos simetrías axiales y una traslación es otro producto de dos simetrías axiales (paralelas) es fácil, siguiendo metódicamente los pasos, descomponer el producto de un giro por una traslación (y viceversa) en el de 4 simetrías axiales:

G[T(v)] = (S1·S2) · (S3·S4)

Siendo en este ejemplo, Traslación por Giro, S1 y S2 los ejes de simetría no paralelos (giro) y S3 y S4 los paralelos (traslación).

Conociendo el vector de la traslación y el origen y ángulo del giro, podemos hacerlo. Para ello haremos que S2 y S3 coincidan, ya que nada nos lo impide. Dibujamos un eje que pase por el origen de giro, ese eje será S2 y S3 (rectas coincidentes). A partir de ese eje dibujamos una paralela en sentido contrario al vector "v" y a la distancia del módulo de dicho vector.

Tened en cuenta que lo estamos haciendo todo a la inversa (de traslación a producto de simetrías), el vector nos dice cómo ir de S4 a S3, si queremos ir de S3 a S4 el sentido del vector se invierte.

Por último, trazamos una nueva recta que pase por el origen de giro y que forme un ángulo con S2 la mitad del valor del ángulo de giro, esa recta será S1. Recordad cómo hay que "sumar" ángulos en sentido positivo (sentido antihorario), como vamos de S2 a S1 (de derecha a izquierda) no tenemos que invertir el sentido.

Si el ejemplo hubiera sido al contrario, Giro por Traslación, entonces el vector de la traslación se hubiera sumado en su sentido y el ángulo de giro en el opuesto, siguiendo los pasos se ve con mayor claridad.

Recordad que un giro es un producto de dos simetrías por la propiedad transitiva, OA=OA" ( a partir de OA').

13.ª Sesión - Simetría axial y producto de simetrías axiales

Hemos seguido con la simetría axial.

Toda simetría axial viene determinada por un eje de simetría e. Un punto y su homólogo son equidistantes del eje de simetría:

d(A,e) = d(A',e)

También se verifica que el segmento determinado por un punto y su homólogo es perpendicular al eje de simetría.

OJO: Recordamos que en el producto de simetrías axiales no se cumple la propiedad conmutativa, no es lo mismo G[G'(a)] que G'[G(a)].

DEMOSTRADO EN CLASE: Cuando ambos ejes de simetría son paralelos, una traslación puede convertirse en un producto de simetrías axiales, donde el vector es una recta perpendicular a ambos ejes, el módulo es el doble de la distancia entre ejes y el sentido es del primer al segundo eje.

DEMOSTRADO EN CLASE: Cuando los ejes de simetría son secantes lo que nos resulta es un giro, ya que se cumplen las exigencias de los giros.

12.ª Sesión - Transformaciones isométricas en el plano

Continuamos con el tema 8. Ya dijimos que una traslación es una transformación isométrica en el plano a través de un vector libre, hoy estudiamos que un giro es una transformación geométrica con dos características: congruencia de los segmentos formados en el giro: |OA|=|OA'| , un ángulo |AOA'| entre ambos segmentos y el origen del giro, (donde O es el origen, A es el punto inicial y A' es el punto después de efectuar el giro).

Recordad que cuando hablamos del ángulo determinado por dos rectas, nos estamos refiriendo a la región angular que se encuentra partiendo de la primera recta (arbitrario) a la segunda en sentido positivo (antihorario).

Demostramos que en el producto de giros no se cumple la propiedad conmutativa. Cuando hablamos de producto de giros, tenemos que prestar bastante atención a la manera de expresarlo:

Ga [G'a'(A)] (a=alpha, este blog no permite añadir letras griegas)
A -> (G) -> A' -> (G') -> A" = G'a · Ga (nótese la inversión de términos, tenemos un punto A, aplicamos un giro G y obtenemos un punto A', aplicamos un giro G' sobre A' y obtenemos A", a la hora de expresarlo hemos de representar G' sobre G, el segundo sobre el primero).

Continuamos con la simetría central y el centro de simetría de figuras planas.

11.ª Sesión, transformaciones isométricas en el plano

Hemos comenzado tema nuevo: Transfomaciones Isometricas en el Plano, Tema 8.

Hay dos cosas a tener en cuenta, la primera que para sumar vectores, hay que poner los vectores uno a continuación del otro y la suma es el vector que se forma en el principio y termina en el final. En figura de abajo se muestran en negro los vectores que queremos sumar colocados uno a continuación del otro y en rojo el vector suma.

El segundo punto a tener en cuenta es el calculo de un homologo.

Dado un punto A(3,4) con una traslación de V= (2,5) ¿Calcula su homólogo A’(x’,y’)?

Por lo que su punto homologo es: A’ (5,9).

10.ª Sesión - Terminamos del estudio de las figuras planas

Nos hemos despachado ya el tema 7. Lo hemos completado hasta el final, aunque algunas actividades propuestas las hemos de investigar por nuestra cuenta por limitaciones de tiempo. Hemos demostrado en clase que la suma de los ángulos interiores y exteriores son la semisuma o semiresta del arco que comprenden en la circunferencia. También hemos continuado calculando áreas de figuras utilizando la fórmula de Herón (con ayuda del semiperímetro).

Recordamos la fórmula para calcular el área de un polígono regular (perímetro por apotema dividido por 2) de donde se deduce el área del círculo a partir del límite cuando el lado tiende a cero y la apotema tiende a igualar al radio, 2 pi x radio x apotema /2 = pi radio al cuadrado.

9.ª Sesión: Cuadriláteros y circunferencias

Comenzamos esta clase recordando los cuadriláteros.

Los clasificamos en paralelogramos (lados paralelos dos a dos), trapecios (dos lados paralelos) y trapezoides (el resto). En los apuntes viene la clasificación más en profundidad.

Paco nos propuso hacer el apartado 3.2 por nuestra cuenta para asegurarnos que se cumplen las propiedades de las diagonales de paralelogramos.

A continuación procedimos con el estudio de la circunferencia. Dibujamos sus elementos en la pizarra y hablamos de la historia del número PI y estrategias para demostrarlo en el aula.

Llegamos hasta la mitad de la página 34. Hay que compromar similitudes entre los ángulos tangentes inscritos y semiinscritos a la circunferencia, como por ejemplo, los de la citada página.

8.ª Sesión - Triángulos

Hoy hemos repasado algo más los frisos y a continuación hemos estudiado los triángulos. Básicamente ha sido un repaso de lo que ya sabíamos, su clasificación, requisitos para su construcción, congruencia...

Para la gente que no haya estudiado dibujo técnico es probable que los puntos notables del triángulo supusieran alguna novedad, aunque no reviste mucha dificultad, es algo memorístico:

• Mediatrices - Circuncentro
• Medianas - Baricentro
• Alturas - Ortocentro

Estos tres puntos conforman la recta de Euler. Una característica del baricentro es que divide a cada mediana en dos segmentos con valores de 1/3 y 2/3 de la misma. Otro punto interesante puede ser el incentro, que se obtiene a partir de las tres bisectrices de un triángulo.

7.ª Sesión - Teselas, imágenes imposibles y frisos

Hoy en clase hemos continuado con el tema séptimo, a partir del punto 1.5.3, los mosaicos de Escher, polígonos nazaríes, la pajarita, el pétalo... Parten de polígonos que mantienen su área a pesar de modificar la forma de su superficie.

De seguido hemos visto una serie de imágenes imposibles:

A continuación iniciamos el estudio de los frisos, Paco nos fue mostrando uno a uno los siete posibles frisos que existen y después hicimos actividades prácticas con ayuda del proyector para trabajarlos en gran grupo. Es fácil reconocer el motivo fundamental y la figura generadora si se practica un poquito, hay que imaginarse los giros y las simetrías que acontecen, luego sólo hay que realizar traslación (aunque la traslación es en lo primero que hemos de fijarnos para reconocer si existe friso).


Ojo con decir que hay simetría horizontal y vertical a la vez, hay que seguir un orden y preguntarnos primero si hay traslación, segundo si existe giro, después si hay simetría horizontal, en caso de no haberla la buscaremos sobre el eje vertical (simetría axial ortogonal). Si no encontramos afirmativa ninguna de las preguntas anteriores (OJO, la traslación sí debe existir), entonces es probable que nos encontraremos ante un caso de simetría por deslizamiento, o un caso en el que el motivo fundamental coincide con la figura generadora.

Aunque la nomenclatura puede parecer liosa, no os agobiéis, la F se refiere al objeto Friso, los subíndices nos indican si existe giro, "F sub...:

1. No hay giro
2. Hay giro

Los superíndices nos remiten al tipo de simetría que aparece, "F super...:

1. Simetría horizontal
2. Simetría vertical
3. Simetría por deslizamiento

6.ª Sesión - Estudio de figuras planas

Hoy en clase recordamos lo que es la apotema.

• Es el segmento que va desde el punto medio al centro de un lado.
• Los polígonos cruzados son aquellos que se cruzan al menos en un punto.
• Polígonos cóncavos 1 (no lo puedo cortar en mas de dos puntos al trazar una recta) y 2 convexos (lo puedo cortar en mas de dos puntos al cortarlo con una recta).
• Fórmula para hallar las diagonales de un polígono regular de ángulos cóncavos
• Formula para saber cual es la suma de los ángulos interiores de polígonos regulares
• Calculamos cuanto miden todos los ángulos con la fórmula (n-2) · 180 y lo dividimos por el numero de lados

5.ª Sesión - Estudio de figuras planas

El miercoles 3 de abril en la clase de matemáticas comenzamos el tema séptimo: "Estudio de figuras planas".
Se comenzó hablando de los poligonos y su clasificación. Es importante tener en cuenta que existe poligonos cruzados (cuando uno o más lados se cortan) que son regulares como es el caso de poligonos estrellados (la estrella de David o la estrella Pitagórica).

Se hicieron dos "demostraciones", nuemero de diagonales de un poligono convexo y suma de los ángulos interiores y exteriores de un poligono convexo. Ambas demostraciones se hicieron de manera sistemática con una tabla (la tabla de la segunda demostración está en la página seis).

Por lo tanto en esta sesión de matemáticas se comenzó el tema y se llegó hasta el punto 1.3 inclusive (página 7).

4.ª Sesión - Paralelismo, perpendicularidad, sistemas de referencia y gráficas

Hoy hemos terminado todo el tema 6. Varias compañeras de clase han salido a la pizarra a hacer prácticas con las nuevas tecnologías (tiza atada a una cuerda) para calcular y dibujar bisectrices, mediatrices, paralelas y perpendiculares. Ha sido muy interesante la última parte, la de interpetar gráficas, cualquier aspecto de la vida real puede plasmarse en una gráfica, además de las que aparecen en los apuntes dibujamos otras nuevas en la pizarra.

Para ampliar: Un ejemplo similar al que tenemos al final del tema puede ser la telemetría en Fórmula 1 (medición a distancia). La telemetría es un elemento básico de puesta a punto de los coches, ya que permite conocer en tiempo real una gran cantidad de información a los ingenieros y ténicos que trabajan en boxes en la mejora del rendimiento del vehículo. En un deporte donde se lucha por ir una décima de segundo más rápido, la puesta a punto es vital.

Hoy en día cualquier videojuego de simulación de Fórmula 1 te permite manejar cerca de 50 variables para la puesta a punto del coche (altura del chasis, altura de alerones, tipo de neumático, dureza de amortiguadores y muelles, barra anti-vuelco, diferencial, ratio de transmisión, apertura de pontones para la refrigeración del motor...) por lo que es fundamental saber utilizar una telemetría si queremos ganar en el nivel más difícil. La telemetría nos devuelve datos muy diversos (velocidad instantánea, cantidad de pedal pisado (acelerador o freno), fuerzas G, régimen del motor o RPM, ángulo de giro del volante, temperatura de cada uno de los elementos de desgaste del vehículo...), y si queremos introducir mejoras, es preciso saber interpretar y analizar gráficas.

A continuación os pongo un ejemplo de telemetría, es de un juego bastante simple que únicamente nos devuelve los datos Velocidad y RPM. El jugador ha elegido las vueltas primera y cuarta para compararlas entre sí, puede que haya utilizado reglajes distintos en las dos y quiera conocer qué efectos han tenido en su rendimiento o puede que quiera saber qué está haciendo mal para no superar el tiempo de la más rápida. Normalmente el mismo tipo de dato suele mostrarse superpuesto, para poder apreciar mejor las diferencias y saber dónde se puede mejorar. Por ejemplo, mirando la velocidad podemos estudiar si se ha frenado demasiado pronto, si se ha acelerado demasiado tarde o si se puede tomar más rápida una determinada curva. En las RPM podemos ver si estamos exprimiendo el motor al máximo, tenemos que jugar con la ratio de marchas para estar siempre lo más próximos (o por encima) del par motor (régimen de giro óptimo).

Leyenda:

En naranja tenemos la velocidad de la vuelta 4, en azul oscuro la de la vuelta 1.
En rojo tenemos las RPM de la vuelta 4, en azul claro la de la vuelta 1.
El circuito es el de Monza (Italia), el más rápido del calendario de la F-1. En el mapa de la izquierda podemos observar que se circula en el sentido de las agujas del reloj y que hay seis grandes frenadas en todo el circuito. La curva 2 es muy abierta y no es preciso frenar para tomarla.

Pregunta: ¿cómo se define una curva?

3.ª sesión - Ángulos

Esta sesión la hemos dedicado a repasar conceptos como ángulo, región angular, banda, líneas poligonales, concavidad, convexidad...

Paco y Victoria nos enseñaron cómo dibujar líneas rectas con la ayuda de una cuerda y tiza, además sumamos y restamos ángulos (siempre que el sustraendo sea menor que el minuendo).
¿Cómo representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal?

Tenemos que tener en cuenta que:

1’ = (1/60)° = 0.01666667° (redondeando a ocho dígitos)

1” = (1/60)′ = (1/3600)° = 0.00027778°

Así 12°15′23″ = 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)° ≈ 12,25639°

Para ampliar: notación centesimal y topografía

En algunos campos, como la topografía, lo que se utiliza para facilitar los cálculos es la notación centesimal, donde:

-La suma de los ángulos internos de un círculo equivale a 400º centesimales
-Un ángulo recto equivale a cien grados centesimales
-Un grado centesimal equivale a cien minutos centesimales
-Un minuto centesimal equivale a cien segundos centesimales

Con esta notación se puede pasar de manera muy sencilla de la expresión decimal a la centesimal, con lo que nos ahorramos muchos pasos, por ejemplo:

388,5778 º centesimales = 388º 57' 78" centesimales

Un teodolito es un aparato que, si está bien calibrado, nos puede servir para medir ángulos y realizar levantamientos topográficos. Funciona situando el teodolito en un punto del mapa, denominado base y desde el que podemos observar toda la zona que queremos llevar a un plano. Conociendo la orientación que existe entre ese punto base y otro punto de referencia conocido (normalmente se suelen utilizar los hitos geodésicos o mojones y su orientación será un norte virtual) podemos empezar a realizar el levantamiento.

La orientación (o azimut) viene a ser el ángulo sobre un plano horizontal cuyo vértice se encuentra en el objetivo del teodolito, una de las semirrectas se dirige hacia el punto de referencia conocido y la otra hacia el punto que buscamos representar en el plano.

Además del teodolito es necesario un jalón (o un prisma telescópico si lo que queremos es medir la distancia) que se va situando en diferentes puntos clave de la superficie sobre la que queramos realizar un levantamiento topográfico. Dichos puntos suelen coincidir con el perímetro, los extremos de los segmentos (bordillos de la acera, de una farola, de una tapa de alcantarillado, de una columna...) de los objetos que se encuentren en el plano. El topógrafo enfoca al jalón o prisma y obtiene una lectura, un ángulo o azimut entre ese "norte virtual" y el punto medido.

El teodolito lanza un pequeño haz de luz infrarroja hacia el prisma, que es un espejo muy complejo (y bastante caro, por cierto) que refleja la luz de nuevo hacia el teodolito. Mediante la proyección y recepción de la luz láser el teodolito es capaz de calcular además del azimut la distancia (si usamos jalones únicamente obtendremos el azimut) existente entre cada uno de los puntos que pretendemos representar y nuestra base. Las miras son otros aparatos que nos permiten calcular de una manera sencilla y rápida las diferencias de altura entre puntos.

Prácticamente toda la topografía se realiza mediante triangulación, por lo que para un topógrafo conocer la geometría y trigonometría es fundamental. Aunque hoy en día, una vez realizado el trabajo de campo, son los ordenadores los que hacen el resto del trabajo, es vital que un topógrafo se conozca al dedillo los entresijos de la teoría, para entender qué está haciendo, para conocer qué errores van a tener sus medidas y para hacer su trabajo de manera más eficaz y rápida.

Concavidad y convexidad
Yo mismo, pese a ser de ciencias, me tuve que aprender de memoria la diferencia existente entre cóncavo y convexo sin una significatividad lógica, me fue bastante bien en física a la hora de examinarme de las lentes, pero con el tiempo lo que aprendemos de memoria lo olvidamos, y tengo que admitir que no fue hasta repasar ayer con Paco las líneas poligonales cuando le encontré sentido,... ¿Os ayuda esta imagen?








Pacman es una línea cóncava, al igual que la boca del fantasma y su contorno, las píldoras, los ojos del fantasma y las cerezas son convexas.

No asistentes:
Manual de la comisión de apuntes, tema 6, páginas de la 12 a la 16. Repaso de todos los conceptos y definiciones.

1.ª y 2.ª sesiones- Introducción a la Geometría

Hola compañer@s, en estas tres primeras sesiones nos hemos dedicado a repasar a vuela pluma la historia de la Geometría, desde sus comienzos hasta bien entrado el siglo XX. Gran parte de esta historia gira en torno a Euclipes, quien fue durante muchos años la figura preeminente en esta materia. Con ayuda de sus 5 postulados intentó demostrar toda la realidad

LOS CINCO POSTULADOS DE EUCLIDES:

1. Se puede trazar una línea recta que pase por dos puntos.

2. Se puede prolongar una línea recta indefinidamente a partir de una recta finita.

3. Se puede trazar una circunferencia con centro y radio dado.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una línea recta que corta a otras dos rectas forma de un mismo lado con ellas ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, las dos últimas rectas prolongada indefinidamente se cortan del lado en que la suma de los ángulos es menor que dos rectos.

Con el tiempo han ido surgiendo nuevas geometrías a raíz de negar el quinto postulado de Euclides, como la hiperbólica o la elíptica. Se puede considerar a Lobatschewski (1829) como fundador de la geometría no euclídea a pesar que ya en el siglo XVIII hay intentos fallidos para demostrar el V postulado de Euclides.

Durante el siglo XIX y XX se suceden los nombres de matemáticos que desarrollaron el campo de la geometría no euclídea, como por ejemplo Klein, quien ideó una botella que podía estar a la vez llena y vacía.

Pasch fue uno de los pioneros en buscar una axiomática, introdujo un nuevo axioma según el cual "sean A, B y C tres puntos no alineados y sea r cualquier recta del plano determinado por A, B, C, y que no pase por ninguno de estos tres puntos. Si r pasa por algún punto del segmento AB, también debe pasar por algún punto del segmento AC o por algún punto del segmento BC", (ver imagen).

Más tarde, Hilbert completó la axiomatización de la geometría y sentó las bases para mucho de lo que nos vendría en el siglo XX, como la teoría de la relatividad. A continuación os mostramos el proceso de construcción de la curva de Hilbert:

También vimos los niveles de Van Hiele, lo cual llevó a una reflexión colectiva acerca de la manera de enseñar geometría hoy en día en las escuelas.

Las explicaciones de pizarra fueron para mostrar brevemente relaciones de pertenencia entre elementos, subconjuntos y conjuntos (punto, recta y plano) y para demostrar que un plano podía tener una única cara (lazo) con ayuda de un papel.

NO ASISTENTES:

• Leer el manual de la comisión (12 primeras páginas) ya que aquí sólo hemos hablado de una mínima parte de lo que hemos trabajado.
  
• Recomendamos prestar especial atención a recordar viejos conceptos que aparecen en los apuntes así como repasar lenguaje matemático.

Y ahora un vídeo sobre fractales, para que os hagáis una idea de por qué la llaman la Geometría del infinito:

Ojo con la matemática

Ante todo hay que tener mucho cuidado, pensar no se le da bien a todo el mundo, y si no se está preparado pueden ocurrir cosas como la que os voy a relatar.

Hace años, mientras en clase comentaron cómo Bertrand Russell desmontó la teoría de conjuntos de Cantor y Fregge, uno de los alumnos que había ese año en la comisión (descendiente directo por línea materna de Georg Cantor) intentó demostrar que se podía resolver la famosa paradoja de Russell y devolver la credibilidad a tantos años de trabajo de su tatarabuelo.

Lamentablemente no lo consiguió, en lugar de eso perdió la cordura tras noches en vela pensando en barberos de lejanos paises y manzanas maduras. La cosa terminó bastante mal, su salud mental fue empeorando y llegó a creerse un subconjunto del conjunto R, sufría alucinaciones y paranoia esquizoide. Lo que sucedió después no lo puedo explicar con palabras, mejor véis el vídeo.

AVISO A LA GENTE SENSIBLE: este vídeo contiene material violento

Estreno del blog

Hola a todo el mundo:

Inauguramos esta bitácora con la intención de poder responder a la demanda de muchos alumnos que por las razones que sean no pueden asistir a clase. De manera semanal iremos añadiendo un artículo comentando qué contenidos vamos trabajando en clase y explicar de manera detallada algunas de las demostraciones que hagamos y que por su importancia (aunque todas lo sean) lo merezcan.

Este blog nace también con la intención de complementar mediante ayudas que nos presta la informática (imágenes, vídeos, flash y enlaces a wikis) muchas de las explicaciones que Paco nos va comentando en clase. Esperamos vuestras aportaciones y sugerencias, bien como comentario aquí o a través del correo electrónico a la direccion comision-dm@listas.um.es .

Recibe un cordial saludo de la comisión de apuntes.